Rätsel-Thread

[Ich]

Nein, kenn ich noch nicht. Post das bitte mal.

Rätsel sind schon was Tolles. :-D

[Alatariel]

Biddeschön:

Das Ziegenproblem, im englischen Sprachraum auch als Monty Hall Problem bekannt, hat schon manchen gestandenen Mathematikprofessor in die Irre geführt.

Dem Hauptgewinner einer Show in den USA (der Showmaster hieß Monty Hall) wurden drei geschlossene Türen gezeigt. Hinter einer der Türen verbarg sich der Hautgewinn, ein Luxusauto, hinter den zwei anderen Türen war je eine Ziege. Der Kandidat wählte eine der Türen aus, diese blieb jedoch vorerst verschlossen.

Der Showmaster öffnete nun eine der beiden anderen verbleibenden Türen - natürlich eine Tür mit einer Ziege - und fragte dann den Kandidaten, ob er bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben oder die andere noch nicht geöffnete Tür wählen wolle.

Frage: Bei welcher Wahl sind die Chancen auf den Hauptgewinn für den Kandidaten größer: Wenn er bei seiner ursprünglichen Wahl bleibt oder wenn er die Tür wechselt ?

Man kann diese Frage mathematisch beantworten. Ich ahbe es auch erst nicht gegelaubt, aber es stimmt (und schon so mancher Mathematikprofessor hat auch schon gestutzt ). Wenn du möchtest poste ich die Antwort plus Formel später, kann allerdings ne Weile dauern, bis ich dann den Beweis eingetippt habe.

Viel Spaß beim Knobeln. :-)

[Ich]

Höh? ich hätte jetzt ehrlich gesagt, gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist. Ich hätte auch keine Idee, wie ich das errechnen sollte, obwohl, eine kleine schon, aber das wird nichts. Obwohl mich das schon neugierig gemacht hat. falls du dir die Mühe machen willst, kanst dus in einen Spoiler packen oder mir mal einen kleinen Hinweis geben ;-)

[Alatariel]

Ich habe auch gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist.

Soll ich die Lösung ine ienm Spoiler schreiben. Hinweisgeben geht nämlich irgendwie schlecht. :(

[Ich]

ja, wär lieb. Ich komm echt auf keine andere Lösung. Soviel ich auch rumprobier.

[Alatariel]

Ich hätte doch einen Tipp: Male dir alle möglichen Fälle einmal auf.

Damit ist es dann zwar noch nicht mathematisch bewiesen, aber man ist der Lösung schon etwas näher.

Ich habe gerade ein paar nette Graphiken bei Wikipedia gefunden, die mir das Tippen ersparen, hier also die Lösung:

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zuerst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3. Wenn von den beiden Toren, auf die zusammengenommen die Wahrscheinlichkeit 2/3 zutrifft, dasjenige mit der Niete geöffnet wird, verbleibt die höhere Wahrscheinlichkeit von 2/3 allein auf dem letzten Tor. Das vom Kandidaten am Anfang ausgewählte erste Tor dagegen bleibt jedoch bei der Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto.

Anmerkung: Bei diesem Problem geht es um riene Mathematik, es ist nicht dabei berücksichtigt, dass der Moderator in der Praxis weiß, ob der Kandidat sich ursprünglich für das Auto entschieden hat oder nicht und dementsprechend sein Verhalten gegenüber dem Kandidaten davon abhängig machen kann.

Grafiken zum Verständnis:

1. Möglichkeit:

Der Kandidat wählt vorerst A, die Ziege B wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel (von A auf C) gewinnt er.

2. Möglichkeit:

Der Kandidat wählt vorerst B, die Ziege A wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel (von B auf C) gewinnt er.

3. Möglichkeit:

Der Kandidat wählt vorerst C, eine Ziege (A oder B) wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel (von C auf B bzw. A) verliert er.

Beim Schätzen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, keine Informationen, die zur Verfügung stehen, zu übersehen: hier ein Entscheidungsbaum für das Problem. Annahme bei diesem Entscheidungsbaum: Das Auto befindet sich hinter dem Tor A.

Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems:

Es sind die Ereignisse definiert:

KA: Der Kandidat hat das Tor A gewählt, ...

MA: Der Moderator hat das Tor A geöffnet, ...

GA: Der Gewinn ist im Tor A, ...

Es soll beispielsweise die Situation vorliegen: Der Kandidat hat Tor A gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor B geöffnet. Lohnt es sich für K zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor C ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P(GC|MB), dass das Auto hinter Tor C ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor B ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln:

Der Kandidat sollte wechseln.

Das Ziegenproblem wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

So, das hat gedauert, ich hoffe es ist verständlich.

Übrigens, so zur Ermutigung, diese Aufgabe gelöst hat Marilyn vos Savant (der Name sagt es schon) und die hat einen IQ von 187. Also nicht den Kopf hängen lassen. ;-)

[Tomtom]

Kannte ich schon, das Problem. Kommt im Mathe-LK zumindest in der Stochastik dran, ist aber, wie ich finde, gar nicht sooo interessant....

[Alatariel]

Miesepeter. *duck*

Ich fand es schon recht interessant. Klar, es ist schon recht bekannt, wir haben es auch schon in der Schule besprochen, aber ich finde es immer wieder interessant.

Bei mir im Mathe Lk haben es einige bis zum Schluß nicht gecheckt. :-O

[Tomtom]

Interessant ist es nur, dass da praktisch jeder zunächst falschrum denkt. Also. :-O

[Alatariel]

Eben. Da spielt uns unser Gehirn einen Streich.

So, hier jetzt aber das gestern versprochenen Rätsel (auch ganz ohne Trick ):

Vier Ehepaare sind bei einem fünften Ehepaar zu Gast. Nach Eintreffen der Gäste findet allgemeines Händeschütteln statt,

dies geschieht unter folgenden Bedingungen:

1. Niemand gibt sich selbst die Hand

2. Niemand gibt seinem Ehepartner die Hand

3. Niemand gibt einem anderen mehr als einmal die Hand

Nach dem Händeschütteln fragt der Gastgeber die anderen Personen (die acht

Gäste und seine eigene Frau), wie oft sie jemandem die Hand gegeben haben.

Von jeder der befragten Personen erhielt er eine andere Zahl als Antwort.

Welche Zahl antwortete ihm seine Frau ?

So, ich hoffe, dass das etwas schwieriger ist.

Frohes Rätseln-

Alatariel ;-)

Bearbeitet 24. April 2006 von Alatariel

[Ich]

Wenn niemand seinem Ehepartner und niemand sich sleber die hand gibt, heißt das schon einmal, dass man höchstens 8 mal die Hand gibt. Wenn alle 9 Personen eine andere Zahl sagen, dann sagen sie

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

was, wie ich gerade feststelle, irgendwie nicht möglich ist.

Ich stehe gerade total auf dem Schlauch. :kratz:

[mormegil]

Nich?

Warum is das unmöglich?

Beim ersten Rätseln scheints die einzig mögliche Variante zu sein!

Die Frau wird dann 0 oder 8 sagen , ich weiß nur noch nich warum :kratz:

[Ich]

Doch es funktioniert, hab mich geirrt. Allerdings muss der Partner von dem, der 0 Personen die Hände geschüttelt hat, 8 Personen die Hände geschüttelt haben.

Das würde heißen, dass man bei der Frau des Gastgebers schon mal 8 mal und 0 mal schütteln ausschließen kann, oder irre mich grad schon nochmal?

[mormegil]

Zumindest rein *freundlichkeitstechnisch* sollte die Gastgeberin doch eher jedem die Hand gegeben haben ,oder?

dann bleib ich mal bei 8

Denn er selber fragt sich ja nicht , also( mal ganz unmathematisch) sollten die beiden Gastgeber allen 8 die Hände gegeben haben , und die gäste teilen sich die 0 - 7 ;-)

Bearbeitet 24. April 2006 von mormegil

[Ich]

Zumindest rein *freundlichkeitstechnisch* sollte die Gastgeberin doch eher jedem die Hand gegeben haben ,oder?

Was aber leider NICHT möglich ist.

[mormegil]

Ich hab oben nochmal editiert!

Wieso kann sie nicht den andern 8 die Hand gegeben haben?

[Ich]

Also, um dir das ganze zu verdeutlichen, hilft es, sich mal ein Blatt Papier zu nehmen und 10 Punkte in einem Kreis anzuordnen, in dem je zwei zusammen liegen. Dann würdest du feststellen, dass, wenn man alle anderen 8 Punkte mit einem verbindet (mit dem der Gastgeberin), nur der des Gastgebers ohne Verbindun (also Händeschütteln) ist. Da allerdings jemand außer ihm niemandem die Hände geschüttelt hat, wäre das ein Widerspruch in sich.

Ich hoffe man kanns verstehen.

[mormegil]

Wo steht denn , das er niemandem die Hände geschüttelt hat?

*nu verwirrt is*

Er fragt nur alle anderen und bekommt von denen verschiedene Antworten .

Ich hab da nicht rausgelesen ,das auch er nicht eine (mit einer Person gleichen)Anzahl von Begrüßungen machen kann , ohne die 3 regeln zu verletzen

[Ich]

Du hast meinen einen satz überlesen.

Da allerdings jemand außer ihm niemandem die Hände geschüttelt hat, wäre das ein Widerspruch in sich.

Wenn die Gastgeberein allen anderen 8, außer ihrem Mann die Hand geschüttelt hat, es aber einen von den 9 Personen (außer dem Gastgeber) geben muss, der niemandem die Hände geschüttelt hat, ist es nicht möglich. Denn dann hätte jeder von Ihnen schon einer Person (der Gastgeberin) die Hand geschüttelt. Logisch, oder?

[mormegil]

Du hast meinen einen satz überlesen.

Wenn die Gastgeberein allen anderen 8, außer ihrem Mann die Hand geschüttelt hat, es aber einen von den 9 Personen (außer dem Gastgeber) geben muss, der niemandem die Hände geschüttelt hat, ist es nicht möglich. Denn dann hätte jeder von Ihnen schon einer Person (der Gastgeberin) die Hand geschüttelt. Logisch, oder?

jo

Edit:dann bin ich bei der Gastgeberin für 0 ,weil sie inder Küche stand und das Essen gemacht hat

Ich glaub ich lehn mich zurück und warte auf pfiffigere die das dann lösen *is auch pfiffig, oder?*

[Ich]

ja, ist wirklich pfiffig, denn dir ist ein weiterer Fehler unterlaufen.

Außer dem Gastgeber, dessen Anzahl (ich spreche jetzt einfach von Anzahl, ist zwar falsch, aber damit lässt sichs leichter erklären) auch doppelt vorkommt, gibt es jede Anzahl nur einmal. das heißt, wenn die Gastgeberin 0 hat, dann müsste jemand 8 haben. (natürlich außer dem Gastgeber. da es jedoch 10 personen sind, und für jede Person sowieso 2 wegfallen (sie selber und ihr Ehepartner) kann man höchstens 8 Personen die Hand schütteln.

Daraus schließt sich, dass diese Person, die 8 Personen die Hand schüttelt, allen anderen die Hand schttelt (außer den 2 Benannten) und somit nicht die Gastgeberin niemandem die hand schütteln kann, weil ihr ja schon die Hand von der Person geschüttelt wird?

Also die Person, die niemandem und die Person, die 8 Personen die Hand schüttelt, sind ein Ehepaar.

Ich weiß, ist doof erklärt.

[Macalaure]

Ich komm bei eurer Argumentation nicht mehr ganz mit.

Aaalso:

- Wie Ich sagt, derjenige, der 8 Personen die Hand gibt und derjenige der niemandem die Hand gibt müssen verheiratet sein, sonst klappt das nicht. (sonst müssten diese beiden Personen sich die Hand geben, widerspruch)

- streichen wir die beiden und ihr Händeschütteln: es bleiben die Zahlen 0,..,6. (0 und 8 weg, alle anderen minus 1)

per Induktion hat man:

Ergebnis: 4

(wenn das mal stimmt... )

Bearbeitet 24. April 2006 von Macalaure

[Alatariel]

Macalaure?

CONGRATULATIONS!!!!!!!!!!!!!!

Vollkommen richtig!

(haha, jatzt habe ich sogar mal ICH zum Grübeln gebracht... )

Ich schreite dann mal zur Erklärung...

Vorabüberlegungen:

Niedrigstmögliche Zahl:

0 (Eine Person gab niemandem die Hand)

Höchstmögliche Zahl:

8 (Eine Person gab allen zehn Anwesenden die Hand, abzüglich: Sich selbst, seinem Ehepartner

Da der Gastgeber 9 Leute befragte und er 9 unterschiedliche Antworten bekam folgt zusammen mit der Tatsache, daß

es exakt 9 Zahlen von 0 bis 8 gibt, daß der Gastgeber genau die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8 zur Antwort bekam.

Wie Ich sagt, derjenige, der 8 Personen die Hand gibt und derjenige der niemandem die Hand gibt müssen verheiratet sein, sonst klappt das nicht.

Genau, diese Annahme stimmt:

Noch einmal eine ausführliche Begründung:

Diejenige Person, die 8 als Antwort gab, hat allen Anwesenden (außer sich selbst und seinem Ehepartner) die Hand gegeben.

Das heißt, von den 10 Personen konnten folgende Leute NICHT mit 0 antworten:

1. Diejenige, die die 8 zur Antwort gab (ist selbstredend)

2. Die 8 nicht mit der 8er-Person verheirateten Personen (die 8er-Person gab ihnen allen die Hand)

Dies sind zusammen 9 Leute, die nicht mit 0 antworten konnten. Da der Gastgeber aber auch die 0 als Antwort bekam,

kann die Person mit 0 nicht zu den obigen 9 Personen gehören, und die einzige Person, die außer den obigen 9 Personen

noch übrig bleibt, ist der Ehepartner der mit 8 antwortenden Person.

Nach genau demselben Schema verfährt man weiter udn kommt zu folgenden Resultaten:

Folgende Befragten sind miteinander verheiratet:

0 mit 8

1 mit 7

2 mit 6

3 mit 5

Es verbleibt hierbei als letzte Zahl noch die 4 und diese 4 ist auch die einzige befragte Person, die mit keinem der 9 Befragten verheiratet ist:

Die Person, die die 4 als Antwort gab, muß die Gastgeberin sein.

;-)

[Ich]

Nun gut. das nächste (mal wieder für die Mathefreaks unter uns):

Vier Kinder: Wie alt sind sie ?

Ein Physiker hat vier Kinder. Eines Tages wird er von einem Kollegen - einem berühmten Mathematiker - besucht. Dieser möchte gerne von dem Physiker das Alter seiner vier Kinder wissen. Der Physiker teilt dem Mathematiker mit, daß das Produkt des Alters seiner vier Kinder in vollen Jahren genau 96 beträgt und daß die Summe dieser vier Zahlen genau die Hausnummer des Hauses, in dem der Mathematiker wohnt, ergibt.

Das hilft dem Mathematiker aber auch nicht viel weiter. Der Physiker erzählt weiterhin, daß alle vier Kinder - wie der Zufall so spielt - am gleichen Tag Geburtstag haben und auch noch zur gleichen Uhrzeit geboren wurden; außerdem sei sein zweitjüngsten Kind rothaarig und eine vorlaute Göre. Daraufhin beginnt der Mathematiker zu überlegen und sagt dann dem Physiker zu dessen Verblüffung das exakte Alter seiner vier Kinder.

Hat der Mathematiker einfach nur geraten oder wie sonst kann er das Alter der vier Kinder kennen ?

[Grischnách]

1, 2, 4, 12

Wie ich darauf gekommen bin?

Ich werd das Gefühl nicht los hinter der Aufgabe steckt noch was

btw: Demnach wäre die Hausnummer 19.